1. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Правильный ответ на задачу
Пусть меньшая часть окружности равна x, тогда
Больший угол опирается на большую дугу; вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, искомый угол равен половине от 5 · 40° или 100°.
Ответ: 100. .
2. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Правильный ответ на задачу
Cумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, поэтому
Ответ: 122. .
3. Стороны четырехугольника , и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , , . Найдите угол этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Правильный ответ на задачу
вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит
Ответ: 108. .
4. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
Правильный ответ на задачу
Пусть дуга AB равна 4x, тогда
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно,
Ответ: 60. .
5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Правильный ответ на задачу
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит,
Ответ: 70.
.
6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Правильный ответ на задачу
вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит,
Ответ: 110.
.
7. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Правильный ответ на задачу
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно,
Ответ: 40. .
8. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Правильный ответ на задачу
Треугольник ABC правильный, значит, все его углы равны 60°. Тогда
Ответ: 1. .
9. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен . Найдите сторону этого треугольника.
Правильный ответ на задачу
Треугольник ABC правильный, значит, все его углы равны 60°. Тогда
Ответ: 3. .
10. Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Правильный ответ на задачу
Треугольник правильный, значит, все углы равны по . По теореме синусов имеем:
Ответ: 2. .
11. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.
Правильный ответ на задачу
треугольник ABC правильный, значит, все углы равны по 60°.
Ответ: 4,5. .
12. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
[b]15. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Правильный ответ на задачу
Сумма двух равных углов при основании треугольника равна 60°, поэтому каждый из них равен 30°. Тогда по теореме синусов
Ответ: 2. .
16. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Правильный ответ на задачу
Заметим, что Значит, треугольник AOB — равносторонний. Тогда
Ответ: 6. .
17. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Правильный ответ на задачу
.
По теореме синусов имеем:
Ответ: 1.
18. Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах
Правильный ответ на задачу
По теореме синусов
тогда
Ответ: 30. .
19. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника.
Правильный ответ на задачу
По теореме синусов:
Ответ: 3. .
20. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Правильный ответ на задачу
Используем теорему синусов:
Ответ: 1. .
21. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Правильный ответ на задачу
Для нахождения площади треугольника ABC, воспользуемся формулой Герона:
Далее по формуле
Ответ: 25. .
22. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.
Правильный ответ на задачу
Трапеция ABCD — равнобедренная, т. к. вокруг неё описана окружность.
Ответ: 6. .
23. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Правильный ответ на задачу
Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника . Это треугольник равнобедренный, угол при вершине равен 120°, углы при основании равны 30°. Найдем его боковую сторону:
высота трапеции где KO и OH — высоты равнобедренных треугольников DOC и AOB. По теореме Пифагора:
Тогда
Ответ: 7. .
25. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Правильный ответ на задачу
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Больший из оставшихся углов лежит напротив меньшего из указанных в условии. Поэтому он равен 180° − 58° = 122°.
Найдем сторону шестиугольника: 72 : 6 = 12. Рассмотрим треугольник AOB. Радиус описанной вокруг шестиугольника окружности равен его стороне, а диаметр вдвое больше. Поэтому он равен 24.
Ответ: 24. .
27. Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 54°. Найдите n.
Правильный ответ на задачу
Рассмотрим треугольник равнобедренный AOB. Углы при его основании равны 54°, значит, угол при вершине 72°. Тогда n = 360° : 72° = 5.
