Глава III Многогранники. § 3. Правильные многогранники
279. Найдите угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец.
Правильный ответ на задачу
.
280. Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней.
Правильный ответ на задачу
.
281. В кубе ABCDA1B1C1D1 из вершины D1 проведены диагонали граней D1A, D1C и D1B1 и концы их соединены отрезками, Докажите, что многогранник D1AB1C—правильный тетраэдр. Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.
Правильный ответ на задачу
.
282. Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани (см. рис. 82).
Правильный ответ на задачу
.
283. В правильном тетраэдре DABC ребро равно а. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани ABC: а) параллельно грани BDC; б) перпендикулярно к ребру AD.
Правильный ответ на задачу
.
284*. От каждой вершины правильного тетраэдра с ребром 2 отсекают правильный тетраэдр с ребром 1. Какая фигура получится в результате?
Правильный ответ на задачу
.
285. Докажите, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу.
Правильный ответ на задачу
.
286. В правильном тетраэдре h — высота, m — ребро, а n — расстояние между центрами его граней. Выразите: а) m через h; б) n через m.
Правильный ответ на задачу
.
287. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между: а) двумя его противоположными вершинами; б) центрами двух смежных граней; в) противоположными гранями. Вопросы к главе III
288. Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно 3.
Правильный ответ на задачу
.
289. Докажите, что площадь полной поверхности куба равна 2d2, где d — диагональ куба.
Правильный ответ на задачу
.
290. Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной l, и одной из сторон основания равен φ. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен 0. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.
Правильный ответ на задачу
.
291. В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с плоскостью основания угол φ, а с одной из сторон основания — угол Θ. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Правильный ответ на задачу
.
292. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6 см, боковое ребро равно 8 см. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.
Правильный ответ на задачу
.
293. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А1С и B1D призмы равен 60°.
Правильный ответ на задачу
.
294. Правильная четырехугольная призма пересечена плоскостью, содержащей две ее диагонали. Площадь полученного сечения равна So, а сторона основания равна а. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.
Правильный ответ на задачу
.
295. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб. Боковое ребро СС1 составляет равные углы со сторонами основания CD и СВ. Докажите, что: a) CC1⊥BD; б) BB1D1D — прямоугольник; в) BD⊥АА1С1; г) плоскости АА1С1 и BB1D1 взаимно
Правильный ответ на задачу
.
296. Высота правильной треугольной призмы равна h. Плоскость α, проведенная через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол φ. Найдите площадь с
Правильный ответ на задачу
.
297. Основанием треугольной призмы АВСА1В1С1 является правильный треугольник ABC, BD — высота этого треугольника, а вершина А1 проектируется в его центр. Докажите, что: a) A1BD⊥АА1С1; б) АА1O⊥ВВ1С; в) грань ВВ1С1С — прямоугольник.
Правильный ответ на задачу
.
298. Основанием параллелепипеда с боковым ребром b является квадрат со стороной с. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
299. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна т, а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания.
Правильный ответ на задачу
.
300. В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, F и Р — середины сторон ВС, АВ и AD. Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна с, боковое ребро равно b.
Правильный ответ на задачу
.
301. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды DABC равен 120°. Расстояние от вершины B до бокового ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды.
Правильный ответ на задачу
.
302. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см к 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Найдите боковые ребра пирамиды.
Правильный ответ на задачу
.
303. Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 120°, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее вы
Правильный ответ на задачу
.
304. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.
Правильный ответ на задачу
.
305. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна h, плоский угол при вершине равен α. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Правильный ответ на задачу
.
306. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и составляет угол φ с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Правильный ответ на задачу
.
307. В правильной пирамиде MABCD AM = b, AD = a. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру MA, и найдите площадь сечения. б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости α.
Правильный ответ на задачу
.
308. Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды, равная 3,2 см,проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты граней пирамиды.
Правильный ответ на задачу
.
309. Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна 6 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сторону и середину высоты.
310. В пирамиде DABC ребро DA перпендикулярно к плоскости ABC. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если АВ=АС = 25 см, BC = 40 см, АН = 8 см, где АН — высота пирамиды.
Правильный ответ на задачу
.
311. Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами АС= 13 см, АВ = 15 см, СВ= 14 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. б) Докажите, что основание перпендикуляр
Правильный ответ на задачу
.
312. В правильной n-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол φ. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром.
Правильный ответ на задачу
.
313. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 12 дм и 6 дм, а ее высота 1 дм. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Правильный ответ на задачу
.
314. В правильной четырехуголькой усеченной пирамиде высота равна 63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7:3. Найдите стороны оснований пирамиды.
Правильный ответ на задачу
.
315. Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.
Правильный ответ на задачу
.
316. Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.
Правильный ответ на задачу
.
317. Докажите, что центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.
Правильный ответ на задачу
.
318. Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна 180°.
Правильный ответ на задачу
.
319. Сколько плоскостей симметрии, проходящих через данную вершину, имеет правильный тетраэдр?
Глава IV. Векторы в пространстве § 1. Понятие вектора в пространстве
320. В тетраэдре ABCD точки М, N и К— середины ребер АС. ВС и CD соответственно, АВ =3 см, ВС = 4 см, BD=5 см. Найдите длины векторов: а) АВ, ВС, BD, NM, BN, NK; б) СВ, BA, DB, NC, KN.
Правильный ответ на задачу
.
321. Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 таковы: AD = 8 см. АВ = 9 см и АА1 — 12 см. Найдите длины векторов: а) СС1, СВ, CD; б) DC1, DB, DB1.
Правильный ответ на задачу
.
322. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точки М и К — середины ребер B1C1 и A1D1. Укажите на этом рисунке все пары: а) сонаправленных векторов; б) противоположно направленных векторов; в) равных векторов.
Правильный ответ на задачу
.
323. На рисунке 98 изображен тетраэдр ABCD, ребра которого равны. Точки М, N, Р и Q — середины сторон АВ, AD, DC, ВС. а) Выпишите все пары равных векторов, изображенных на этом рисунке, б) Определите вид четырехугольника MNPQ.
Правильный ответ на задачу
.
324. Справедливо ли утверждение: а) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, коллинеарны между собой; б) два вектора, сонаправленные с ненулевым вектором, сонаправлены; в) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены?
Правильный ответ на задачу
.
325. Известно, что АА1=ВВ1. Как расположены по отношению друг к другу: а) прямые АВ и А1В1; б) прямая АВ и плоскость, проходящая через точки A1 и В1; в) плоскости, одна из которых проходит через точки A и B, а другая проходит через точки А1 и В1?
Правильный ответ на задачу
.
326. На рисунке 97 изображен параллелепипед, точки М и К — середины ребер В1С1 и A1D1. Назовите вектор, который получится, если отложить: а) от точки С вектор, равный DD1; б) от точки D вектор, равный СМ; в) от точки А1 вектор, равный АС; г) от точки С1 в
Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число
327. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: а) AB + A1D1; б) AB + AD1; в) DA + B1B; г) DD1+DB; д) DB1+ ВС.
Правильный ответ на задачу
.
328. Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что: а) АВ + BD=AC + CD; б) AB + BC = DC + AD; в) DC + BD = AC + BA.
330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1, AD соответственно через a,b,c. Изобразите на рисунке векторы: а) а — b; б) а —с; в) b — а; г) с —b; д) с — а.
Правильный ответ на задачу
.
331. Пусть ABCD — параллелограмм, а О — произвольная точка пространства. Докажите, что: а) ОВ — ОА = ОС — OD; б) OB — OC = DA.
Правильный ответ на задачу
.
332. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Представьте векторы АВ1 и DK в виде разности двух векторов, начала и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке точками.
Правильный ответ на задачу
.
333. В пространстве даны четыре точки А, В, С и D. Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный сумме векторов: а) (АВ + СА + DC) + (BC + CD); б) (АВ-АС) + DC.
338. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что OA + OC1=OC+OA1, где О—произвольная точка пространства.
Правильный ответ на задачу
.
339. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, такой, что: a) DC + D1A1 + CD1 + x + A1C1 = DB; б) DA + x + D1B + AD1 + BA = DC.
Правильный ответ на задачу
.
340. Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что: а) АА1 - В1С - х = ВА; б) AC1 - ВВ1 +х=АВ; в) AB1 + x = AC - x + BC1.
Правильный ответ на задачу
.
341. Основанием четырехугольной пирамиды с вершиной Р является трапеция ABCD. Точка О — середина средней линии трапеции. Докажите, что PA + PB + PC + PD = 4 PO.
Правильный ответ на задачу
.
342. Точка Р — вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке Р, образованных боковыми ребрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке Р, образованных апофемами.
Правильный ответ на задачу
.
343. Известно, что AO = ½AB. Докажите, что точки А и В симметричны относительно точки О.
Правильный ответ на задачу
.
344. Диагонали куба ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Найдите число k такое, что: a) AB = k⋅CD; б) AC1=k⋅AO; в) OB1=k⋅B1D.
Правильный ответ на задачу
.
345. Точки Е и F — середины оснований АВ и ВС параллелограмма ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите: а) вектор ОА — ОС через вектор EF; б) вектор ОА — ОЕ через вектор DC.
348. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что AC1+B1D=2BC.
Правильный ответ на задачу
.
349. Три точки А, В и М удовлетворяют условию АМ = λ⋅MB, где λ≠— 1. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для любой точки О пространства выполняется равенство.
Правильный ответ на задачу
.
350. Известно, что p = a + b + c, причем векторы a, b и c попарно не сонаправлены. Докажите, что |p| < |а| + |b| + |с|.
Правильный ответ на задачу
.
351. Векторы a и c, а также b и c коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы: а) a + b и с; б) a - b и c; в) a + 3b и с; г) -a + 2b и с.
Правильный ответ на задачу
.
352. Векторы a + b и a - b коллинеарны. Докажите, что векторы а и b коллинеарны.
Правильный ответ на задачу
.
353. Векторы a + 2b и a - 3b коллинеарны. Докажите, что векторы a и b коллинеарны.
Правильный ответ на задачу
.
354. Докажите, что если векторы a + b и a - b не коллинеарны, то: а) векторы а и b не коллинеарны; б) векторы a + 2b и 2a - b не коллинеарны.
Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора
355. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарны: а) АА1, СС1, ВВ1; б) АВ, AD, АA1; в) В1В, AC, DD1; г) AD, СС1, A1B1?
Правильный ответ на задачу
.
356. Отрезок EF соединяет середины ребер AC и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE = ВА + DC. Компланарны ли векторы FE, ВА и DC?
Правильный ответ на задачу
.
357. Даны параллелограммы ABCD и AB1C1D1. Докажите, что векторы ВВ1, СС1 и DD1 компланарны.
Правильный ответ на задачу
.
358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: а) AB + AD + AA1; б) DA + DC + DD1; в) A1B1 + C1B1 + BB1; г) A1A + A1D1 + AB; д) B1A1 + BB1 + BC.
Правильный ответ на задачу
.
359. В вершинах А1, В и D куба ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно а, помещены точечные заряды q. а) Выразите результирующую напряженность* создаваемого ими электрического поля в точках A и C1 через вектор AC1. б) Найдите абсолютную величину результирующей
Правильный ответ на задачу
.
360. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1. б) Разложите вектор B1D1 по векторам А1А, А1В и А1D1.
Правильный ответ на задачу
.
361. Диагонали параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Разложите векторы CD и D1O по векторам АА1, АВ и AD.
Правильный ответ на задачу
.
362. Точка К — середина ребра ВС тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK по векторам a = DA, b = АВ и с = АС.
Правильный ответ на задачу
.
363. Основанием пирамиды с вершиной О является параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке M. Разложите векторы OD и ОМ по векторам a = OA, b = OB и c = OC.
Правильный ответ на задачу
.
364. Точка К—середина ребра В1С1 куба ABCDA1B1C1D1. Разложите вектор АК по векторам а = АВ, b = AD, с = АА, и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно m.
Правильный ответ на задачу
.
365. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. Точка M — середина АВ, а точка К — середина MD. Разложите векторы ОМ и ОК по векторам а = ОА, b = ОВ, с = ОС.
366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точка пространства, то
Правильный ответ на задачу
.
367. В тетраэдре ABCD медиана АА1 грани ABC делится точкой К так, что АК:КА1 =3:7. Разложите вектор DK по векторам DA, DB, DC.
Правильный ответ на задачу
.
368. Точки М и N являются серединами ребер АВ и A1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Разложите, если это возможно, по векторам АВ и AD вектор: а) AC; б) СМ; в) C1N; г) AC1; д) A1N; е) AN; ж) MD.
Правильный ответ на задачу
.
369. Медианы грани ABC тетраэдра ОABC пересекаются в точке М. Разложите вектор ОА по векторам ОВ, ОС, ОМ.
Правильный ответ на задачу
.
370. Высоты AM и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите по векторам a = DA, b=DB, c = DC вектор: a) DN; б) DK; в) AМ; г) МК.
Правильный ответ на задачу
.
371. В тетраэдре ABCD медианы грани BCD пересекаются в точке О. Докажите, что длина отрезка АО меньше одной трети суммы длин ребер с общей вершиной A.
Правильный ответ на задачу
.
372. Докажите, что диагональ АС1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проходит через точки пересечения медиан треугольников A1BD и CB1D1 и делится этими точками на три равных отрезка (рис. 111).
Правильный ответ на задачу
.
373. Точки А1, В1, С1 и М1 —основания перпендикуляров, про веденных к плоскости α из вершин треугольника ABC и из точки М пересечения медиан этого треугольника (рис. 112). Останется ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника ABC пересек
Правильный ответ на задачу
.
374. Отрезки АВ и CD не лежат в одной плоскости, точки М и N — середины этих отрезков. Докажите, что
Правильный ответ на задачу
.
375. В тетраэдре ABCD точки К и М — середины ребер АВ и CD Докажите, что середины отрезков КС, KD, МА и MB являют ся вершинами некоторого параллелограмма. Вопросы к главе IV
377. На рисунке 113 изображен правильный октаэдр. Докажите, что:
Правильный ответ на задачу
.
378. Докажите, что разность векторов а и b выражается формулой a - b = a + (-b)
Правильный ответ на задачу
.
379. Дан тетраэдр ABCD. Найдите сумму векторов: а) АВ + BD + DC; б) AD + CB + DC; в) AB+CD+BC+DA.
Правильный ответ на задачу
.
380. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найдите сумму векторов: а) АВ+В1С1 + DD1 + CD; б) B1C1+AB+ DD1+CB1 +BC +A1A; в) BA + AC+CB + DC + DA.
Правильный ответ на задачу
.
381. Даны треугольники ABC, А1В1С1 и две точки О и Р пространства. Известно, что OA+OP=OA1, OB+OP=OB1,OC+OP=OC1. Докажите, что стороны треугольника А1В1С1 соответственно равны и параллельны сторонам треугольника ABC.
Правильный ответ на задачу
.
382. При каких значениях k в равенстве a = kb, где b ≠0, векторы а и b: а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направлены; г) являются противоположными?
Правильный ответ на задачу
.
383. Числа k и l не равны друг другу. Докажите, что если векторы a+kb и a+lb не коллинеарны, то: а) векторы а и b не коллинеарны; б) векторы a+k1b и а+lb не коллинеарны при любых неравных числах k1 и l1.
Правильный ответ на задачу
.
384. Точки А1, В1 и С1 — середины сторон ВС, АС и АВ треугольника ABC, точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что
Правильный ответ на задачу
.
385. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что
Правильный ответ на задачу
.
386. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что для любой точки М пространства справедливо неравенство
387. Три точки М, N и Р лежат на одной прямой, а точка О не лежит на этой прямой. Выразите вектор ОР через векторы ОМ и ON, если: a) NP = 2MN; б) МР-½PN; в) МР = k⋅MN, где k—данное число.
Правильный ответ на задачу
.
388. Докажите, что векторы р, а и b компланарны, если: а) один из данных векторов нулевой; б) два из данных векторов коллинеарны.
Правильный ответ на задачу
.
389. На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: A1, A2, A3 и B1, B2, B3, причем A1A2=k⋅A1A3, В1В2= k⋅В1В3. Докажите, что прямые А1В1, А2В2, A3B3 параллельны некоторой плоскости.
Правильный ответ на задачу
.
390. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором AB = AD = a, AA1 = 2а. В вершинах B1 и D1 помещены заряды q, а в вершине A — заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля: а) в точке A1; б) в точке С;
Правильный ответ на задачу
.
391. В тетраэдре ABCD точка К — середина медианы ВВ1 грани BCD. Разложите вектор АК по векторам а = АВ, b = АС, с=AD.
Правильный ответ на задачу
.
392. На трех некомпланарных векторах р = АВ, q = AD, г=АА1 построен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложите по векторам р, q и г векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.
Правильный ответ на задачу
.
393. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К—середина ребра СС1. Разложите вектор: а) АК по векторам АВ, AD, АА1; б) DA1 по векторам АВ1, ВС1, CD1.
Правильный ответ на задачу
.
394. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали грани DCC1D1 пересекаются в точке М. Разложите вектор AM по векторам АВ, AD и АА1.
Правильный ответ на задачу
.
395. Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А1В1С1 совпадают, то прямые АА1, ВВ1 и СС1 параллельны некоторой плоскости.
Правильный ответ на задачу
.
396. В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС. Выразите через векторы b = АВ, с = АС и d = AD следующие векторы: ВС, CD, DB и DM.
Правильный ответ на задачу
.
397. В тетраэдре ABCD точки М и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и BDC. Докажите, что MN||AC, и найдите отношение длин этих отрезков.
Правильный ответ на задачу
.
398. Треугольники ABC, A1B1C1 и A2B2C2 расположены так, что точки А, В, С являются серединами отрезков А1А2, В1В2, С1С2 соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC, А1В1С1 и A2B2C2 лежат на одной прямой.
Правильный ответ на задачу
.
399. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.
Глава V. Метод координат в пространстве. § 1. Координаты точки и координаты вектора.
400. Даны точки A (3; — 1; 0), В (0; 0; — 7), С (2; 0; 0), D ( — 4; 0; 3), E (0; — 1; 0), F(1;2;3), G (0; 5; -7), Н (-√5; √3; 0). Какие из этих точек лежат на: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Оху, д) плоскости Oyz
Правильный ответ на задачу
.
401. Найдите координаты проекций точек А(2; —3; 5), В (3; —5; ½) и C( — √3; —√2/2; √5-√3) на: а) координатные плоскости Oxz, Оху и Oyz; б) оси координат Ох, Оу и Oz.
Правильный ответ на задачу
.
402. Даны координаты четырех вершин куба ABCDA1B1C1D1: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0) и А1 (1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.
Правильный ответ на задачу
.
403. Запишите координаты векторов: a = 3i+2j—5k, b=—5i + 3k — k, c=i — j, d = j+k, m = k—i, n = 0,7k.
Правильный ответ на задачу
.
404. Даны векторы а {5; —1; 2}, b{-3; -1; 0}, c{0; -1; 0}, d (0; 0; 0). Запишите разложения этих векторов по координатным векторам i, j, k.
Правильный ответ на задачу
.
405. На рисунке 124 изображен прямоугольный параллелепипед, у которого ОА= 4, ОВ = 6, ОО1=5. Найдите координаты векторов ОА1, ОВ1, OO1, ОС, ОС1, ВС1, АС1, O1С в системе координат Oxyz.
Правильный ответ на задачу
.
406. Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.
Правильный ответ на задачу
.
407. Даны векторы а {3; —5; 2}, b{0; 7; —1}, с {⅔; 0; 0;} и d{ — 2,7; 3,1; 0,5}. Найдите координаты векторов: а) а+b; б) а + с; в) b+с; г) d+b; д) d + a; е) а+b+с; ж) b + а + d; з) а+b+c+d.
Правильный ответ на задачу
.
408. По данным рисунка 125 найдите координаты векторов АС, СВ, АВ, MN, NP, ВМ, ОМ, ОР, если ОА= 3, ОВ=7, ОС = 2, а М, N и Р — середины ребер АС, ОС и СВ.
Правильный ответ на задачу
.
409. Даны векторы а{5; —1; 1}, b { — 2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d {-⅓;2⅖; -1/7}. Найдите координаты векторов: а) а — b; б) b — а; в) а — с; г) d — а; д) с — d; е) а — b+с; ж) а — b — с; з) 2а; и) —3b; к) —6с; л) —⅓d; м) 0,2b.
Правильный ответ на задачу
.
410. Даны векторы a {— 1; 2; 0}, b{0; —5; —2} и с {2; 1; —3}. Найдите координаты векторов p=3b-2a+c и q=3c-2b+a.
412. Найдите координаты векторов, противоположных следующим векторам: i, j, k, а {2; 0; 0}, b { — 3; 5; —7), с { — 0,3; 0; 1,75}.
Правильный ответ на задачу
.
413. Коллинеарны ли векторы: а) а{3; 6; 8} и b{6; 12; 16); б) с{1; — 1; 3} и d {2; 3; 15}; в) i{1; 0; 0} и j{0; 1; 0}; г) m {0; 0; 0} и n {5; 7; -3}; д) p {⅓ -1; 5} и q {-1; -3; -15}?
Правильный ответ на задачу
.
414. Найдите значения m и n, при которых следующие векторы коллинеарны: а) а {15; m; 1} и b(18; 12; n); б) с {m; 0,4; —1} и d{-½;n;5}.
Правильный ответ на задачу
.
415. Компланарны ли векторы: а) а {— 3; —3; 0}, i и j; б) b{2; 0; — 3}, i и j; в) с{1; 0; — 2}, i и k; г) d {1; — 1; 2}, е{ — 2; 0; 1} и f{5; —1; 0}; д) m {1; 0; 2}, n{1; 1; —1} и р {— 1; 2; 4}; е) q{0; 5; 3}, F {3; 3; 3} и s {1; 1; 4}?
Правильный ответ на задачу
.
416. Даны векторы ОА{3; 2; 1}, OB {1; -3; 5} и OC{ -⅓0,75; -2¾}. Запишите координаты точек А, В и С, если точка О — начало координат.
Правильный ответ на задачу
.
417. Даны точки А (2; —3; 0), В (7; — 12; 18) и С ( — 8; 0; 5). Запишите координаты векторов ОА, ОВ и ОС, если точка О — начало координат.
Правильный ответ на задачу
.
418. Найдите координаты вектора АВ, если: а) A (3; —1; 2), В(2; — 1; 4); б) A (-2; 6; -2), В(3; - 1; 0); в) A (1; ⅚; ½), B(½⅓¼).
Правильный ответ на задачу
.
419. Вершины треугольника ABC имеют координаты: A (1; 6; 2), В (2; 3; — 1), С ( — 3; 4; 5). Разложите векторы АВ, ВС и СА по координатным векторам i, j и k.
Правильный ответ на задачу
.
420. Даны точки A (3; -1; 5), В (2; 3; -4), С(7; 0; -1) и D (8; —4; 8). Докажите, что векторы АВ и DC равны. Равны ли векторы ВС и AD?
421. Лежат ли точки A, В и С на одной прямой, если: а) А (3; -7; 8), В (-5; 4; 1), С (27; -40; 29); б) A (-5; 7; 12), В (4; -8; 3), С (13; -23; -6); в) A (-4; 8; -2), В ( - 3; -1; 7), С (-2; -10; -16)?
Правильный ответ на задачу
.
422. Лежат ли точки A, В, С и D в одной плоскости, если: а) А (-2; -13; 3), В(1; 4; 1), С (- 1; - 1; -4), D (0; 0; 0); б) А (0; 1; 0), В (3; 4; -1), С (-2; -3; 0), D (2; 0; 3); в) A (5; -1; 0), В (-2; 7; 1), С (12; -15; -7), D(1; 1; -2)?
Правильный ответ на задачу
.
423. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC с вершинами A (x1; y1; z1), В (x2; y2; z2), С (x3; y3; z3) имеет координаты
Правильный ответ на задачу
.
424. Точка М — середина отрезка АВ. Найдите координаты: а) точки М, если А (0; 3; —4), В ( — 2; 2; 0); б) точки В, если A (14; —8; 5), М (3; —2; —7); в) точки A, если B(0; 0; 2), М (— 12; 4; 15).
Правильный ответ на задачу
.
425. Середина отрезка АВ лежит на оси Ох. Найдите m и n, если: а) A ( — 3; m; 5), В (2; —2; n); б) А (1; 0,5; —4), В (1; m; 2n); в) A (0; m; n+1), В(1; n;-m+1); г) A (7; 2m+n; —n), В ( - 5; -3; m -3).
Правильный ответ на задачу
.
426. Найдите длину вектора АВ, если: а) A (— 1; 0; 2), В (1; — 2; 3); б) A (-35; -17; 20), В (-34; -5; 8).
Правильный ответ на задачу
.
427. Найдите длины векторов: а {5; —1; 7}, b {2 √3; —6; 1}, c = i+j+k, d=—2k, m = i — 2j.
