725. Площади трех попарно смежных граней прямоугольного параллелепипеда равны S1, S2 и S3. Выразите объем этого параллелепипеда через S1, S2, S3 и вычислите его при S1 =6 дм2, S2=12 дм2, S3=18 дм?.
Правильный ответ на задачу
.
726. В прямоугольном параллелепипеде диагонали трех граней, выходящие из одной вершины, равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите объем параллелепипеда.
Правильный ответ на задачу
.
727. Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда равно а. Сечение, проведенное через две стороны разных оснований, является квадратом с площадью Q. Найдите объем параллелепипеда.
Правильный ответ на задачу
.
728. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и 3√2 см, а острый угол основания равен 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет угол в 45° с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда.
Правильный ответ на задачу
.
729. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали BD1. и A1C взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, АВ = 3 см. Найдите объем параллелепипеда.
Правильный ответ на задачу
.
730. В прямой призме, основанием которой является прямоугольный треугольник, пять ребер равны а, а остальные четыре ребра равны друг другу. Найдите объем призмы.
Правильный ответ на задачу
.
731. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен 3 м3, а наименьшая и наибольшая из площадей боковых граней равны 3 м2 и 3√5 м2. Найдите длины ребер призмы.
Правильный ответ на задачу
.
732. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна d и составляет угол φ с плоскостью другой боковой грани. Найдите объем призмы.
Правильный ответ на задачу
.
733. Докажите, что объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.
Правильный ответ на задачу
.
734. На трех данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, отложены три равных отрезка АА1, ВВ1 и СС1. Докажите, что объем призмы, боковыми ребрами которой являются эти отрезки, не зависит от положения отрезков на данных прямых.
Правильный ответ на задачу
.
735. Площади боковых граней наклонной треугольной призмы пропорциональны числам 20, 37, 51. Боковое ребро равно 0,5 дм, а площадь боковой поверхности равна 10,8 дм2. Найдите объем призмы.
736. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если боковая грань составляет с плоскостью основания угол φ, а не лежащая в этой грани вершина основания находится на расстоянии т от нее.
Правильный ответ на задачу
.
737. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с основанием угол φ, а середина этого ребра удалена от основания пирамиды на расстояние, равное m. Найдите объем пирамиды.
Правильный ответ на задачу
.
738. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды, равен 2φ. Найдите объем пирамиды.
Правильный ответ на задачу
.
739. В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен a, а сторона основания равна a. Найдите объем пирамиды.
Правильный ответ на задачу
.
740. Основанием пирамиды является треугольник, два угла которого равны φ1 и φ2. Высота пирамиды равна h, а каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол φ3. Найдите объем пирамиды.
Правильный ответ на задачу
.
741. Основанием четырехугольной пирамиды, высота которой равна Н, является параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом α. Попарно равные противоположные боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания углы β и &gamma
Правильный ответ на задачу
.
742. Основанием пирамиды является ромб со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют тупой двугранный угол φ. Две другие боковые грани составляют с плоскостью основания двугранные углы Θ. Найдите объе
Правильный ответ на задачу
.
743. Два ребра тетраэдра равны b, а остальные четыре ребра равны а. Найдите объем тетраэдра, если ребра длины b: а) имеют общие точки; б) не имеют общих точек.
Правильный ответ на задачу
.
744. В усеченной пирамиде соответственные стороны оснований относятся как 2:5. В каком отношении делится ее объем плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамиды параллельно основаниям?
Правильный ответ на задачу
.
745. Найдите объем цилиндра, если: а) площадь боковой поверхности равна S, а площадь основания равна Q; б) осевое сечение является квадратом, а высота равна h; в) осевое сечение является квадратом, а площадь полной поверхности равна S.
Правильный ответ на задачу
.
746. Докажите, что объемы двух цилиндров, у которых площади боковых поверхностей равны, относятся как их радиусы.
Правильный ответ на задачу
.
747. Конический бак имеет глубину 3 м, а его круглый верх имеет радиус 1,5 м. Сколько литров жидкости он вмещает?
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар
748. В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна a, a острый угол между его диагоналями равен φ1. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основании, составляет с плоскостью основания двуг
Правильный ответ на задачу
.
749. Основанием пирамиды является ромб со стороной а и острым углом φ. В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол Θ. Найдите объем конуса.
Правильный ответ на задачу
.
750. В цилиндр вписан шар. Найдите отношение объемов цилиндра и шара.
Правильный ответ на задачу
.
751. Найдите объем конуса, если радиус его основания равен 6 дм, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 дм.
Правильный ответ на задачу
.
752. В конус, радиус основания которого равен r, а образующая равна l, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.
Правильный ответ на задачу
.
753. В усеченный конус, радиусы оснований которого равны, r и r1, вписан шар. Найдите отношение объемов усеченного конуса и шара.
Правильный ответ на задачу
.
754. В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом α при основании вписан шар объема V. Найдите объем пирамиды.
Правильный ответ на задачу
.
755. В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом α, вписан шар. Найдите объем шара, если каждая боковая грань пирамиды составляет с основанием угол β.
Правильный ответ на задачу
.
756. В сферу радиуса R вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол α. Найдите объем цилиндра.
Правильный ответ на задачу
.
757. В шар вписан цилиндр, в котором угол между диагоналями осевого сечения равен α. Образующая цилиндра равна l. Найдите объем шара.
Правильный ответ на задачу
.
758. В шар вписан конус, радиус основания которого равен г, а высота равна И. Найдите площадь поверхности и объем шара.
Правильный ответ на задачу
.
759. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Найдите площадь поверхности и объем шара, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол α.
Правильный ответ на задачу
.
760. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол р. Найдите площадь поверхности и объем шара.
Правильный ответ на задачу
.
761. Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которой присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м3?
Правильный ответ на задачу
.
762. Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объем и какое — наименьший?
Правильный ответ на задачу
.
763. Будет ли плавать в воде полый медный шар, диаметр которого равен 10 см, а толщина стенки: а) 2 мм; б) 1,5 мм? (Плотность меди 8,9 г/см3.)
764. Даны две скрещивающиеся прямые, угол между которыми равен 90°. Найдите множество середин всех отрезков данной длины d, концы которых лежат на этих прямых.
Правильный ответ на задачу
.
765. Дан тетраэдр, все ребра которого равны. Докажите, что периметры фигур, которые получаются при пересечении этого тетраэдра плоскостями, параллельными двум противоположным ребрам, равны.
Правильный ответ на задачу
.
766. Докажите, что сумма квадратов двух противоположных ребер тетраэдра вдвое больше суммы квадратов отрезков, соединяющих соответственно середины остальных противоположных ребер.
Правильный ответ на задачу
.
767. Известно, что из любого равностороннего треугольника можно склеить тетраэдр, перегибая его по трем средним линиям и склеивая соответствующие части его сторон (см. рис. 88). Какому условию должны удовлетворять углы произвольного треугольника, чтобы из
Правильный ответ на задачу
.
768. Найдите множество оснований всех перпендикуляров, проведенных из данной точки А, не лежащей на прямой ВС, к плоскостям, проходящим через эту прямую.
Правильный ответ на задачу
.
769. Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.
Правильный ответ на задачу
.
770. Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О равны 90°. Докажите, что площадь треугольника АОВ равна среднему геометрическому площадей треугольников ABC и O1АВ, где O1 — проекция точки О на плоскость ABC.
Правильный ответ на задачу
.
771. Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).
Правильный ответ на задачу
.
772. Сколько существует плоскостей, каждая из которых равноудалена от четырех данных точек, не лежащих в одной плоскости?
Правильный ответ на задачу
.
773. Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра.
Правильный ответ на задачу
.
774. Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести.
775. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой.
Правильный ответ на задачу
.
776. Разбейте куб на шесть равных тетраэдров.
Правильный ответ на задачу
.
777. Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?
Правильный ответ на задачу
.
778. Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров.
Правильный ответ на задачу
.
779. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна S. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоскости боковой грани.
Правильный ответ на задачу
.
780. Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещается в коробку, имеющую форму куба со стороной 1 см?
Правильный ответ на задачу
.
781. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что пересечение тетраэдров AB1CD1 и C1BA1D есть правильный октаэдр.
Правильный ответ на задачу
.
782. Докажите, что из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоугольный параллелепипед.
Правильный ответ на задачу
.
783. Внутри куба с ребром 1 см расположена ломаная, причем любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает ее не более чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше 3 см. Докажите также, что можно построить ломаную, обладающую указанным
Правильный ответ на задачу
.
784. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на 2 (теорема Эйлера).
Правильный ответ на задачу
.
785. Докажите, что центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра.
786. Докажите, что центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра.
Правильный ответ на задачу
.
787. В правильном треугольнике ABC сторона равна а. Отрезок AS длины а перпендикулярен к плоскости ABC. Найдите расстояние и угол между прямыми АВ и SC.
Правильный ответ на задачу
.
788. В правильном треугольнике ABC сторона равна а. На сонаправленных лучах BD и СЕ, перпендикулярных к плоскости ABC, взяты точки D и Е так, что BD=a/√2 , СЕ = а√2. Докажите, что треугольник ADE прямоугольный, и найдите угол между плоскостями
Правильный ответ на задачу
.
789. Используя векторы, докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.
Правильный ответ на задачу
.
790. Основание ABC тетраэдра ОАВС прозрачное, а все остальные грани зеркальные. Все плоские углы при вершине О прямые. Докажите, что луч света, вошедший в тетраэдр через основание ABC под произвольным углом к нему, отразившись от граней, выйдет в противоп
Правильный ответ на задачу
.
791. Из точки А исходят четыре луча АВ, AC, AD и АЕ так, что ∠ВАС=60°, ∠BAD= ∠DAC = 45°, а луч АЕ перпендикулярен к плоскости ABD. Найдите угол САЕ.
Правильный ответ на задачу
.
792. Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда противоположные ребра тетраэдра перпендикулярны.
Правильный ответ на задачу
.
793. Три боковые ребра тетраэдра равны друг другу. Докажите, что прямая, образующая равные углы с этими ребрами, перпендикулярна к плоскости основания.
Правильный ответ на задачу
.
794. Все плоские углы тетраэдра ОABC при вершине О прямые. Докажите, что проекция вершины О на плоскость ABC есть точка пересечения высот треугольника ABC.
Правильный ответ на задачу
.
795. Из точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды. Докажите, что сумма их квадратов не зависит от положения этих хорд.
Правильный ответ на задачу
.
796. Найдите множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую, не пересекающую шар.
797. Найдите множество всех точек, из которых можно провести к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные прямые.
Правильный ответ на задачу
.
798. В тетраэдр с высотами h1, h2, h3, h4 вписан шар радиуса R. Докажите, что
Правильный ответ на задачу
.
799. Какому условию должны удовлетворять радиусы трех шаров, попарно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость?
Правильный ответ на задачу
.
800. На плоскости лежат четыре шара радиуса R, причем три из них попарно касаются друг друга, а четвертый касается двух из них. На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса г, касающиеся друг друга, причем каждый из них касается трех больших шаро
Правильный ответ на задачу
.
801. На плоскости лежат три шара радиуса R, попарно касающиеся друг друга. Основание конуса лежит в указанной плоскости, а данные шары касаются его извне. Высота конуса равна λR. Найдите радиус его основания.
Правильный ответ на задачу
.
802. Плоскости АВ1С1 и А1ВС разбивают правильную треугольную призму ABCA1B1C1 на четыре части. Найдите отношение объемов этих частей.
Правильный ответ на задачу
.
803. Докажите, что объем тетраэдра равен 1/6abcsinφ, где а и b — противоположные ребра, а φ и с — соответственно угол и расстояние между ними.
Правильный ответ на задачу
.
804. Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объемы которых равны.
Правильный ответ на задачу
.
805. Основанием пирамиды OABCD является параллелограмм ABCD. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через прямую АВ и среднюю линию грани OCD?
Правильный ответ на задачу
.
806. Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них взят отрезок АВ, а на двух других — точки С и D соответственно. Докажите, что объем тетраэдра ABCD не зависит от выбора точек С и D.
Правильный ответ на задачу
.
807. Точки Е и F — середины ребер DC и ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 см. Найдите объем тетраэдра AD1EF.
808. В двух параллельных плоскостях взяты два многоугольника. Их вершины соединены отрезками так, что у полученного многогранника все боковые грани — трапеции, треугольники и параллелограммы. Докажите, что
Правильный ответ на задачу
.
809. Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объем общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них раве
Правильный ответ на задачу
.
810. Вокруг данного шара описан конус с углом а при вершине осевого сечения При каком значении а конус имеет наименьший объем?
Правильный ответ на задачу
.
811. В конус вписан шар. Докажите, что отношение объемов конуса и шара равно отношению площадей полной поверхности конуса и сферы, являющейся границей шара.
Правильный ответ на задачу
.
812. Правильная четырехугольная пирамида, у которой сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен а, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объем полученного тела вращения.
Правильный ответ на задачу
.
813. Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разбивает шар на две равные по объему части. Найдите косинус уг
Правильный ответ на задачу
.
814. Все высоты тетраэдра пересекаются в точке Н. Докажите, что точка Н, центр О описанной сферы и точка G пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), прич
Правильный ответ на задачу
.
815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2:1, с
